Soit $(e_1,\dots, e_p)$ une base de $V$, que l'on complète en une base $(e_1,\dots, e_n)$ de $E$. Un endomorphisme $u\in\mc L(E)$ vérifie $V\subset \Ker u$ si et seulement si $e_1,\dots, e_p\in \Ker u$, donc si et seulement si la matrice de $u$ dans la base $\mc B$ a ses $p$-premières colonnes nulles.

    L'ensemble $\mc M$ des matrices qui vérifient cette condition est de dimension $(n-p) n$.

    Comme l'application $\Phi$ qui à $u$ associe $\op{Mat}_{\mc B}(u)$ est un isomorphisme, l'ensemble $\mc V = \Phi^{-1}(\mc M)$ est de dimension $(n-p)n$.